Question

正三棱锥P-ABC的高为2，侧棱与底面所成的角为45°，则点A到侧面PBC的距离是（　　）

• A、

  5

• B、2

  2

• C、

  2

• D、

  6 5

  5

Answer 1

考点：点、线、面间的距离计算

专题：空间位置关系与距离

分析：由已知条件推导出S_△ABC=3

3

，S_△PAC=

15

．由此利用V_P-ABC=V_A-PBC，能求出点A到面PBC的距离．

解答： 解：作PO⊥底面ABC，交面ABC于点O，连线路AO并延长并AC于点D，
∵正三棱锥P-ABC的高为2，侧棱与底面所成的角为45°，
∴PO=2，∠PBO=45°，∠POB=90°，
∴BO=2，∴BD=3，∴PB=

4+4

=2

2

，
设CD=x，则BC=2x，
由勾股定理得4x²-x²=9，解得x=

3

，
∴BC=2

3

，∴S_△ABC=

1

2

×2

3

×3=3

3

．
∵PD=

1+4

=

5

，∴S_△PAC=

1

2

×2

3

×

5

=

15

．
∵V_P-ABC=V_A-PBC，设点A到面PBC的距离为h，
∴

1

3

×3

3

×2=

1

3

×

15

×h，解得h=

6 5

5

．
∴点A到面PBC的距离为

6 5

5

．
故选：D．

点评：本题考查点到平面距离的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意等积法的合理运用．