Question

14．已知抛物线x²=4y焦点为F，点A，B，C为该抛物线上不同的三点，且满足$\overrightarrow{FA}$+$\overrightarrow{FB}$+$\overrightarrow{FC}$=$\overrightarrow{0}$．
（1）求|FA|+|FB|+|FC|；
（2）若直线AB交y轴于点D（0，b），求实数b的取值范围．

Answer 1

分析 （1）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），C（x₃，y₃），求得抛物线的焦点坐标，准线方程，运用抛物线的定义和向量的坐标表示，可得所求和；
（2）显然直线AB斜率存在，设为k，则直线AB方程为y=kx+b，代入抛物线的方程，运用判别式大于0和韦达定理，结合向量的坐标表示，求出C的坐标，代入抛物线的方程，可得b的范围，讨论b=1不成立，即可得到所求范围．

解答 解：设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），C（x₃，y₃），
由抛物线x²=4y得焦点F坐标为（0，1），
所以$\overrightarrow{FA}$=（x₁，y₁-1），$\overrightarrow{FB}$=（x₂，y₂-1），$\overrightarrow{FC}$=（x₃，y₃-1），
所以由$\overrightarrow{FA}$+$\overrightarrow{FB}$+$\overrightarrow{FC}$=$\overrightarrow{0}$，得$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}+{x}_{2}+{x}_{3}=0}\\{{y}_{1}+{y}_{2}+{y}_{3}-3=0}\end{array}\right.$，（*）
（1）易得抛物线准线为y=-1，
由抛物线定义可知|FA|=y₁+1，|FB|=y₂+1，|FC|=y₃+1，
所以|FA|+|FB|+|FC|=y₁+y₂+y₃+3=6；
（2）显然直线AB斜率存在，设为k，则直线AB方程为y=kx+b，
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+b}\\{{x}^{2}=4y}\end{array}\right.$消去y得：x²-4kx-4b=0，
所以△=16k²+16b＞0即k²+b＞0…①
且x₁+x₂=4k，x₁x₂=-4b，所以y₁+y₂=k（x₁+x₂）+2b=4k²+2b，
代入式子（*）得$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{3}=-4k}\\{{y}_{3}=3-4{k}^{2}-2b}\end{array}\right.$又点C也在抛物线上，
所以16k²=12-16k²-8b，即k²=$\frac{3-2b}{8}$…②，
由①，②及k²≥0可解得$\left\{\begin{array}{l}{3-2b≥0}\\{3+6b＞0}\end{array}\right.$ 即-$\frac{1}{2}$＜b≤$\frac{3}{2}$，
又当b=1时，直线AB过点F，此时A，B，F三点共线，由$\overrightarrow{FA}$+$\overrightarrow{FB}$+$\overrightarrow{FC}$=$\overrightarrow{0}$，
得$\overrightarrow{FC}$与$\overrightarrow{FA}$共线，即点C也在直线AB上，此时点C必与A，B之一重合，
不满足点A，B，C为该抛物线上不同的三点，所以b≠1，
所以实数b的取值范围为（-$\frac{1}{2}$，1）∪（1，$\frac{3}{2}$]．

点评 本题考查抛物线的定义、方程和性质，考查直线方程和抛物线的方程联立，运用韦达定理，同时考查向量共线和坐标表示，考查运算能力，属于中档题．