Question

9．已知抛物线C：y²=4x焦点为F，点D为其准线与x轴的交点，过点F的直线l与抛物线相交于A，B两点，则△DAB的面积S的取值范围为（　　）

• A． [5，+∞）
• B． [2，+∞）
• C． [4，+∞）
• D． [2，4]

Answer 1

分析 由抛物线C：y²=4x可得焦点F（1，0）．设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），讨论直线AB的斜率不存在，求出A，B的坐标，由三角形的面积公式计算可得；当直线AB的斜率存在，设直线AB的方程为：y=k（x-1）．与抛物线方程联立可得：k²x²-（2k²+4）x+k²=0，利用根与系数的关系和弦长公式可得|AB|，求出点D（-1，0）到直线AB的距离d，再利用S_△DAB=$\frac{1}{2}$d•|AB|即可得出所求范围．

解答 解：由抛物线C：y²=4x可得焦点F（1，0）．
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
当AB的斜率不存在，即有AB：x=1，
A（1，2），B（1，-2），|AB|=4，S=$\frac{1}{2}$×4×2=4；
当直线AB的斜率存在时，直线AB的方程设为：y=k（x-1）．
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x-1）}\\{{y}^{2}=4x}\end{array}\right.$，
化为k²x²-（2k²+4）x+k²=0，
则x₁+x₂=2+$\frac{4}{{k}^{2}}$，x₁x₂=1．
∴|AB|=$\sqrt{（1+{k}^{2}）[（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}]}$
=$\sqrt{（1+{k}^{2}）[（2+\frac{4}{{k}^{2}}）^{2}-4]}$=$\frac{4（1+{k}^{2}）}{{k}^{2}}$．
点D（-1，0）到直线AB的距离d=$\frac{|2k|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$．
∴S_△DAB=$\frac{1}{2}$•$\frac{|2k|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$•$\frac{4（1+{k}^{2}）}{{k}^{2}}$=4$\sqrt{\frac{1}{{k}^{2}}+1}$＞4．
综上可得△DAB的面积S的取值范围为[4，+∞）．
故选：C．

点评 本题考查了直线与抛物线相交问题转化为方程联立可得根与系数的关系、弦长公式、点到直线的距离公式、三角形的面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．