Question

7．判断居民户是否小康的一个重要指标是居民户的年收入，某市从辖区内随机抽取100个居民户，对每个居民户的年收入与年结余的情况进行分析，设第i个居民户的年收入x_i（万元），年结余y_i（万元），经过数据处理的：$\sum_{i=1}^{100}{x}_{i}$=400，$\sum_{i=1}^{100}{y}_{i}$=100，$\sum_{i=1}^{100}{x}_{i}{y}_{i}$=900，$\sum_{i=1}^{100}{{x}^{2}}_{i}$=2850．
（1）已知家庭的年结余y对年收入x具有线性相关关系，求线性回归方程；
（2）若该市的居民户年结余不低于5万，即称该居民户已达小康生活，请预测居民户达到小康生活的最低年收入应为多少万元？
附：在y=bx+a中，b=$\frac{\sum_{i=1}^{n}{x}_{i}{y}_{i}-n\overline{x}\overline{y}}{\sum_{i=1}^{n}{{x}^{2}}_{i}-n{\overline{x}}^{2}}$，a=$\overline{y}-b\overline{x}$，其中$\overline{x}$，$\overline{y}$为样本平均值．

Answer 1

分析 （1）由题意计算$\overline{x}$、$\overline{y}$，求出回归系数，写出线性回归方程；
（2）令回归函数y=0.4x-0.6≥5，求得x的取值范围．

解答 解：（1）由题意知 n=100，$\overline{x}$=$\frac{1}{100}\sum_{i=1}^{100}{x}_{i}$=$\frac{400}{100}$=4，
$\overline{y}$=$\frac{1}{100}\sum_{i=1}^{100}{y}_{i}$=$\frac{100}{100}$=1，
b=$\frac{\sum_{i=1}^{100}{x}_{i}{y}_{i}-100\overline{x}\overline{y}}{\sum_{i=1}^{100}{{x}^{2}}_{i}-100{\overline{x}}^{2}}$=$\frac{900-100•4•1}{2850-100•{4}^{2}}$=0.4，
a=$\overline{y}-b\overline{x}$=-0.6，
所以线性回归方程为y=0.4x-0.6； …8分
（2）令y=0.4x-0.6≥5，解得x≥14，
由此可预测该居民户的年收入最低为14．…12分

点评 本题考查了线性回归方程的求法与应用问题，是基础题．