Question

11．已知函数f（x）=x-1+$\frac{a}{{e}^{x}}$．
（Ⅰ）若函数f（x） 在点（1，f（1））处的切线平行于x轴，求a的值；
（Ⅱ）求函数f（x）的极值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）先求导，根据导数的几何意义即可求出，
（Ⅱ）先求导，再根据导数和函数极值的关系即可求出．

解答 解：（Ⅰ）由f（x）=x-1+$\frac{a}{{e}^{x}}$，得f′（x）=1-$\frac{a}{{e}^{x}}$  
由函数f（x） 在点（1，f（1））处的切线平行于x轴，得  f′（1）=1-$\frac{a}{e}$=0，解得a=e 
（Ⅱ）f′（x）=1-$\frac{a}{{e}^{x}}$  
①当a≤0时，f′（x）＞0，f（x）在R上为增函数，f（x）无极值  
②当a＞0时，令f′（x）=0，解得x=lna，
∴x∈（-∞，lna）时，f′（x）＞0，x∈（lna，+∞）时，f′（x）＜0，
∴函数f（x）在（-∞，lna）上单调递减；在（lna，+∞）上单调递增．   
∴f（x）在x=lna处取得极小值，且极小值为f（lna）=lna，无极大值
综上，当a≤0时，函数f（x）无极值；
当a＞0时，f（x）在x=lna处取得极小值lna，无极大值．

点评 本题考查了导数和函数的极值的关系，关键是分类讨论，属于中档题．