Question

6．已知椭圆E：$\frac{x^2}{18}+\frac{y^2}{9}$=1，斜率为1的直线交E于A，B两点，若AB的中点为P，O为坐标原点，则直线OP的斜率为（　　）

• A． -1
• B． $-\frac{1}{2}$
• C． $-\frac{1}{3}$
• D． -2

Answer 1

分析 设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），P（x₀，y₀），可得$\frac{{x}_{1}^{2}}{18}$+$\frac{{y}_{1}^{2}}{9}$=1，$\frac{{x}_{2}^{2}}{18}$+$\frac{{y}_{2}^{2}}{9}$=1，相减可得：$\frac{（{x}_{1}+{x}_{2}）（{x}_{1}-{x}_{2}）}{18}$+$\frac{（{y}_{1}+{y}_{2}）（{y}_{1}-{y}_{2}）}{9}$=0，把中点坐标公式、斜率计算公式代入即可得出．

解答 解：设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），P（x₀，y₀），
则$\frac{{x}_{1}^{2}}{18}$+$\frac{{y}_{1}^{2}}{9}$=1，$\frac{{x}_{2}^{2}}{18}$+$\frac{{y}_{2}^{2}}{9}$=1，
相减可得：$\frac{（{x}_{1}+{x}_{2}）（{x}_{1}-{x}_{2}）}{18}$+$\frac{（{y}_{1}+{y}_{2}）（{y}_{1}-{y}_{2}）}{9}$=0，
∵x₀=$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$，y₀=$\frac{{y}_{1}+{y}_{2}}{2}$，$\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$=1，
∴$\frac{2{x}_{0}}{18}$+$\frac{1×2{y}_{0}}{9}$=0，
解得k_OP=$\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}}$=-$\frac{1}{2}$．
故选：B．

点评 本题考查了椭圆的标准方程、中点坐标公式、斜率计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．