Question

3．已知函数f（x）=3^x，且f^-1（18）=a+2，g（x）=3^ax-4^x的定义域为区间[0，1]，求：
（1）g（x）的解析式
（2）g（x）的值域．

Answer 1

分析 （1）根据指数幂和反函数的关系建立方程求出3^a=2，代入g（x）即可，
（2）利用换元法，结合一元二次函数的性质进行求解．

解答 解：（1）∵f^-1（18）=a+2，∴f（a+2）=18，
即3^a+2=18，即9×3^a=18，即3^a=2，
即g（x）=3^ax-4^x=2^x-4^x，x∈[0，1]，
（2）g（x）=-（2^x）²+2^x，
设t=2^x，x∈[0，1]，
则t∈[1，2]，
则函数等价为y=-t²+t=-（t-$\frac{1}{2}$）²+$\frac{1}{4}$，
∵t∈[1，2]，
∴函数在t∈[1，2]上是减函数，
则当t=1时，函数取得最大值，此时y=-1+1=0，
当t=2时，函数取得最小，此时y=-4+2=-2，
则函数的值域是[-2，0]．

点评 本题主要考查函数解析式的求解以及函数值域的计算，利用换元法以及反函数的关系求出函数的解析式是解决本题的关键．