Question

6．定义在R上的偶函数f（x），满足f（x+1）=f（x-1），且f（x）在[-3，-2]上是增函数，又α、β是锐角三角形的两个内角，则（　　）

• A． f（sinα）＞f（cosβ）
• B． f（cosα）＜f（cosβ）
• C． f（sinα）＜f（cosβ）
• D． f（sinα）＜f（sinβ）

Answer 1

分析 由条件得到f（x）是周期为2的周期函数，由f（x）是定义在R上的偶函数，在[-3，-2]上是减函数，根据偶函数的对称性可知f（x）在[2，3]上单调递增，进而得到函数f（x）在[0，1]上单调增，再由α，β是锐角三角形的两个内角，得$\frac{π}{2}$＞α＞$\frac{π}{2}$-β＞0，且sinα、cosβ都在区间[0，1]上，从而可求．

解答 解：在R上的偶函数f（x），满足f（x+1）=f（x-1），故f（x+2）=f（x），故函数f（x）的周期为2．
∵f（-x）=f（x），f（x）在[-3，-2]上是减函数，
根据偶函数的对称性可知函数f（x）在[2，3]上是增函数，
根据函数的周期可知，函数f（x）在[0，1]上是增函数，
∵α，β是锐角三角形的两个内角，∴α+β＞$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$＞α＞$\frac{π}{2}$-β＞0，
∴1≥sinα＞sin（$\frac{π}{2}$-β）=cosβ≥0，∴f（sinα）＞f（cosβ），
故选：A．

点评 本题综合考查函数的奇偶性、单调性、周期性等函数知识的综合应用，解题的关键是灵活应用函数的知识，属于中档题．