Question

5．椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1的右焦点为F（1，0），左顶点为A，线段AF的中点为B，圆F过点B，且与C交于D，E，△BDE是等腰直角三角形，则圆F的标准方程是（x-1）²+y²=$\frac{9}{4}$．

Answer 1

分析 设A（-a，0），可得a＞1，c=1，求得AF的中点B的坐标，可得圆F的半径和方程，设D（m，n），（m＞0，n＞0），E（m，-n），由△BDE为等腰直角三角形，可得m，n的关系，将D的坐标代入圆的方程，解方程可得m=1，求出n，代入椭圆方程，解方程可得a=2，即可得到圆F的方程．

解答 解：如图设A（-a，0），可得a＞1，c=1，b²=a²-1，
线段AF的中点为B（$\frac{1-a}{2}$，0），
圆F的圆心为F（1，0），半径r=|BF|=$\frac{1+a}{2}$，
设D（m，n），（m＞0，n＞0），E（m，-n），
由△BDE为等腰直角三角形，可得k_BD=1，
即$\frac{n-0}{m-\frac{1-a}{2}}$=1，即n=m-$\frac{1-a}{2}$，
由D在圆F：（x-1）²+y²=（$\frac{1+a}{2}$）²上，
可得（m-1）²+（m-$\frac{1-a}{2}$）²=（$\frac{1+a}{2}$）²，
化简可得（m-1）（2m-1+a）=0，
解得m=1或m=$\frac{1-a}{2}$（舍去），
则n=$\frac{1+a}{2}$，
将D（1，$\frac{1+a}{2}$）代入椭圆方程，可得
$\frac{1}{{a}^{2}}$+$\frac{\frac{（1+a）^{2}}{4}}{{a}^{2}-1}$=1，
化简可得a=2或$\frac{2}{3}$（舍去），
则圆F的标准方程为（x-1）²+y²=$\frac{9}{4}$，
故答案为：（x-1）²+y²=$\frac{9}{4}$．

点评 本题考查椭圆的方程和性质，以及圆的方程的求法，考查等腰直角三角形的性质，注意运用点满足圆的方程和椭圆方程，考查化简整理的运算能力，属于中档题．