Question

10．已知函数y=$\frac{1}{3}$x³-x+c的图象与x轴恰有两个公共点，则c=（　　）

• A． $±\frac{2}{3}$
• B． $\frac{4}{3}$或$\frac{2}{3}$
• C． -1或1
• D． $-\frac{4}{3}$或$-\frac{2}{3}$

Answer 1

分析 求导函数，确定函数的单调性，确定函数的极值点，利用函数y=x³-3x+c的图象与x轴恰有两个公共点，可得极大值等于0或极小值等于0，由此可求c的值．

解答 解：求导函数可得y′=x²-1=（x+1）（x-1），
令y′＞0，可得x＞1，或x＜-1；令y′＜0，可得-1＜x＜1；
∴函数在（-∞，-1），（1，+∞）上单调增，（-1，1）上单调减，
∴函数在x=-1处取得极大值，在x=1处取得极小值，
∵函数y=$\frac{1}{3}$x³-x+c的图象与x轴恰有两个公共点，
∴极大值f（-1）等于0或极小值f（-1）等于0，
∴$\frac{2}{3}$+c=0或-$\frac{2}{3}$+c=0，∴c=±$\frac{2}{3}$，
故选：A．

点评 本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性与极值，解题的关键是利用极大值等于0或极小值等于0，属于中档题．