Question

13．已知双曲线C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的离心率为2，且右焦点到一条渐近线的距离为$\sqrt{3}$，双曲线的方程为（　　）

• A． $\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{3}=1$
• B． ${x^2}-\frac{y^2}{3}=1$
• C． ${y^2}-\frac{x^2}{3}=1$
• D． ${x^2}-\frac{y^2}{4}=1$

Answer 1

分析 根据题意，由双曲线的离心率公式可得e=$\frac{c}{a}$=2，即c=2a，又由双曲线的性质可得b=$\sqrt{3}$，结合c²=a²+b²，计算可得a²的值，将a²、b²的值代入双曲线方程即可得答案．

解答 解：根据题意，双曲线C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的离心率为2，
则e=$\frac{c}{a}$=2，即c=2a，
又由右焦点到一条渐近线的距离为$\sqrt{3}$，则有b=$\sqrt{3}$，
又由c²=a²+b²，即4a²=a²+3，
则有a²=1，
则双曲线的方程为：x²-$\frac{{y}^{2}}{3}$=1；
故选：B．

点评 本题考查双曲线的几何性质，注意双曲线中焦点到渐近线的距离为b．