Question

3．已知在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，cosA=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$sin²C-cos（B-C），且$\frac{π}{2}$是A与3C的等差中项
（1）求tanB的值
（2）若b=2$\sqrt{2}$，求三角形△ABC的面积．

Answer 1

分析 （1）由已知及等差数列的性质，三角形内角和定理可求B=2C，C为锐角，利用三角函数恒等变换的应用化简已知等式可求cosC，sinC的值，利用二倍角公式可求sinB，cosB，利用同角三角函数基本关系式可求tanB的值．
（2）由（1）及正弦定理可得c的值，进而可求cosA，sinA的值，利用三角形面积公式即可计算得解．

解答 （本题满分为12分）
解：（1）∵$\frac{π}{2}$是A与3C的等差中项，
∴π=A+3C=A+B+C，可得：B=2C，C为锐角，
∵cosA=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$sin²C-cos（B-C），可得：cos（B-C）-cos（B+C）=2sinBsinC=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$sin²C，
∴sinB=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$sinC=2sinCcosC，可得：cosC=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，sinC=$\sqrt{1-co{s}^{2}C}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，
∴sinB=2sinCcosC=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，cosB=2cos²C-1=-$\frac{1}{3}$，可得：tanB=$\frac{sinB}{cosB}$=-2$\sqrt{2}$，
（2）∵b=2$\sqrt{2}$，sinC=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，sinB=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，
∴由正弦定理可得：c=$\frac{bsinC}{sinB}$=$\sqrt{6}$，
∵cosA=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$sin²C-cos（B-C）=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$×$（\frac{\sqrt{6}}{3}）^{2}$-$\frac{\sqrt{3}}{3}$=$\frac{5\sqrt{3}}{9}$，可得sinA=$\sqrt{1-co{s}^{2}A}$=$\frac{\sqrt{6}}{9}$，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$bcsinA=$\frac{1}{2}×2\sqrt{2}×\sqrt{6}×$$\frac{\sqrt{6}}{9}$=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$．

点评 本题主要考查了等差数列的性质，三角形内角和定理，三角函数恒等变换的应用以及正弦定理，三角形面积公式在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．