Question

2．已知数列{a_n}的通项公式为a_n=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{n}，n=1，2}\\{（\frac{1}{2}）^{n}，n≥3}\end{array}\right.$，n∈N*，其前n项和为S_n，则$\underset{lim}{n→∞}$S_n=$\frac{7}{4}$．

Answer 1

分析 通过等比数列的求和公式可知当n≥3时$\frac{1}{{2}^{3}}$+$\frac{1}{{2}^{4}}$+…+$\frac{1}{{2}^{n}}$=$\frac{1}{{2}^{2}}$-$\frac{1}{{2}^{n}}$，进而取极限可得结论．

解答 解：由题可知$\underset{lim}{n→∞}$S_n=$\underset{lim}{n→∞}$（1+$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{{2}^{3}}$+$\frac{1}{{2}^{4}}$+…+$\frac{1}{{2}^{n}}$）
=$\underset{lim}{n→∞}$（1+$\frac{1}{2}$+$\frac{\frac{1}{{2}^{3}}（1-\frac{1}{{2}^{n-2}}）}{1-\frac{1}{2}}$）
=$\underset{lim}{n→∞}$（1+$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{{2}^{2}}$-$\frac{1}{{2}^{n}}$）
=$\underset{lim}{n→∞}$（$\frac{7}{4}$-$\frac{1}{{2}^{n}}$）
=$\frac{7}{4}$，
故答案为：$\frac{7}{4}$．

点评 本题考查考查数列的通项及前n项和，考查等比数列的求和公式，涉及极限思想，注意解题方法的积累，属于中档题．