Question

10．以下四个命题：
①已知随机变量X～N（0，σ²），若P（|X|＜2）=a，则P（X＞2）的值为$\frac{1+a}{2}$；
②设a、b∈R，则“log₂a＞log₂b”是“2^a-b＞1”的充分不必要条件；
③函数f（x）=${x}^{\frac{1}{2}}$-（$\frac{1}{2}$）^x的零点个数为1；
④命题p：?n∈N，3ⁿ≥n²+1，则￢p为?n∈N，3ⁿ≤n²+1．
其中真命题的序号为②③．

Answer 1

分析 由曲线关于y轴对称，由概率分布特点，即可判断①；运用对数函数和指数函数的单调性，结合充分必要条件的定义，即可判断②；画出y=${x}^{\frac{1}{2}}$和y=（$\frac{1}{2}$）^x的图象，即可判断③；由全称命题的否定为特称命题，即可判断④．

解答 解：①已知随机变量X～N（0，σ²），若P（|X|＜2）=a，
则P（X＞2）=$\frac{1}{2}$（1-P（|X|＜2））=$\frac{1-a}{2}$，故①错；
②设a、b∈R，log₂a＞log₂b?a＞b＞0⇒a-b＞0⇒2^a-b＞1，由于a-b＞0，a，b不一定大于0，
则“log₂a＞log₂b”是“2^a-b＞1”的充分不必要条件，故②对；
③由y=${x}^{\frac{1}{2}}$和y=（$\frac{1}{2}$）^x的图象，可得它们只有一个交点，
即函数f（x）=${x}^{\frac{1}{2}}$-（$\frac{1}{2}$）^x的零点个数为1，故③对；
④命题p：?n∈N，3ⁿ≥n²+1，则￢p为?n∈N，3ⁿ＜n²+1．故④错．
故答案为：②③．

点评 本题考查命题的真假判断，主要是正态分布的特点和充分必要条件的判断、及函数的零点个数和命题的否定，考查判断能力和数形结合思想，属于基础题．