Question

12．已知ω为正整数，若函数f（x）=sinωx+cosωx在区间（-$\frac{π}{3}$，$\frac{π}{6}$）内单调递增，则函数f（x）最小正周期为（　　）

• A． $\frac{π}{4}$
• B． $\frac{π}{2}$
• C． π
• D． 2π

Answer 1

分析 利用辅助角公式将函数f（x）化解，根据x在区间（-$\frac{π}{3}$，$\frac{π}{6}$）内单调递增．建立不等式关系，ω为正整数，即可求出函数f（x）最小正周期．

解答 解：函数f（x）=sinωx+cosωx=$\sqrt{2}$sin（ωx$+\frac{π}{4}$）
x在区间（-$\frac{π}{3}$，$\frac{π}{6}$）内单调递增，
则$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{πω}{3}+\frac{π}{4}≥-\frac{π}{2}+2kπ}\\{\frac{πω}{4}+\frac{π}{4}≤\frac{π}{2}+2kπ}\end{array}\right.$，k∈Z，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{ω≤\frac{9}{4}-6k}\\{ω≤8k+1}\end{array}\right.$，
∵ω为正整数，
∴ω=1．
那么f（x）═$\sqrt{2}$sin（x$+\frac{π}{4}$）
函数f（x）最小正周期T=$\frac{2π}{1}=2π$．
故选：D．

点评 本题考查了三角函数的性质的运用．属于基础题．