Question

12．若非零向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$满足|$\overrightarrow{a}$|=|$\overrightarrow{b}$|=|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$|，则$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$-$\overrightarrow{a}$夹角为（　　）

• A． $\frac{5}{6}π$
• B． $\frac{2}{3}π$
• C． $\frac{1}{6}π$
• D． $\frac{1}{3}π$

Answer 1

分析 根据条件利用平方法得$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=-$\frac{1}{2}$|$\overrightarrow{a}$|²，然后根据向量数量积的应用求夹角即可．

解答 解：∵|$\overrightarrow{b}$|=|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$|，
∴平方得|$\overrightarrow{b}$|²=|$\overrightarrow{a}$|²+|$\overrightarrow{b}$|²+2$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$，
即$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=-$\frac{1}{2}$|$\overrightarrow{a}$|²，
$\overrightarrow{a}$•（$\overrightarrow{b}$-$\overrightarrow{a}$）=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$-|$\overrightarrow{a}$|²=-$\frac{1}{2}$|$\overrightarrow{a}$|²-|$\overrightarrow{a}$|²=-$\frac{3}{2}$|$\overrightarrow{a}$|²，
|$\overrightarrow{b}$-$\overrightarrow{a}$|=$\sqrt{{\overrightarrow{b}}^{2}-2\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}+{\overrightarrow{a}}^{2}}$=$\sqrt{{\overrightarrow{a}}^{2}+2×\frac{1}{2}{\overrightarrow{a}}^{2}+{\overrightarrow{a}}^{2}}$=$\sqrt{3}$|$\overrightarrow{a}$，
则cos＜$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$-$\overrightarrow{a}$＞=$\frac{\overrightarrow{a}•（\overrightarrow{b}-\overrightarrow{a}）}{|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}-\overrightarrow{a}|}$=$\frac{-\frac{3}{2}|\overrightarrow{a}{|}^{2}}{|\overrightarrow{a}|\sqrt{3}|\overrightarrow{a}|}$=-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
即＜$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$-$\overrightarrow{a}$＞=$\frac{5}{6}π$，
故$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$-$\overrightarrow{a}$夹角为$\frac{5}{6}π$，
故选：A

点评 本题主要考查向量夹角的计算，根据向量数量积的应用是解决本题的关键．考查学生的计算能力．