Question

3．角α顶点在坐标原点O，始边与x轴的非负半轴重合，tanα=-2，点P在α的终边上，点Q（-3，-4），则$\overrightarrow{OP}$与$\overrightarrow{OQ}$夹角余弦值为$\frac{{\sqrt{5}}}{5}$或$-\frac{{\sqrt{5}}}{5}$．

Answer 1

分析 设出坐标根据向量数量积的应用进行求解即可，注意要分类讨论．

解答 解：∵角α顶点在坐标原点O，始边与x轴的非负半轴重合，tanα=-2，
∴角α对应的直线方程为y=-2x，
设P（x，y），则y=-2x，
则$\overrightarrow{OP}$=（x，-2x），$\overrightarrow{OQ}$=（-3，-4），
则cos＜$\overrightarrow{OP}$，$\overrightarrow{OQ}$＞=$\frac{\overrightarrow{OP}•\overrightarrow{OQ}}{|\overrightarrow{OP}||\overrightarrow{OQ}|}$=$\frac{-3x+8x}{\sqrt{{x}^{2}+4{x}^{2}}•5}$=$\frac{5x}{5\sqrt{5}|x|}$，
若x＞0，则cos＜$\overrightarrow{OP}$，$\overrightarrow{OQ}$＞=$\frac{5x}{5\sqrt{5}|x|}$=$\frac{5}{5\sqrt{5}}$=$\frac{{\sqrt{5}}}{5}$，
若x＞0，则cos＜$\overrightarrow{OP}$，$\overrightarrow{OQ}$＞=$\frac{5x}{5\sqrt{5}|x|}$=-$\frac{5}{5\sqrt{5}}$=-$\frac{{\sqrt{5}}}{5}$，
故答案为：$\frac{{\sqrt{5}}}{5}$或$-\frac{{\sqrt{5}}}{5}$

点评 本题主要考查向量夹角的余弦值的计算，设出坐标根据向量数量积的应用是解决本题的关键．