Question

20．在四棱锥P-ABCD，四条侧棱长均为2，底面ABCD为正方形，E为PC的中点，且∠BED=90°，若该四棱锥的所有顶点都在同一球面上，则该球的表面积是$\frac{16}{3}π$．

Answer 1

分析 设四棱锥P-ABCD底面棱长为x，则BE=DE=x，根据相似三角形的性质，求出x值，进而求出棱锥的底面的外接圆半径和高，进而求出棱锥的外接球半径，可得答案．

解答 解：设四棱锥P-ABCD底面棱长为x，
∵E为PC的中点，且∠BED=90°，
∴BE=DE=x，
则$\frac{x}{1}=\frac{2}{x}$，解得：x=$\sqrt{2}$，
∴正方形ABCD的外接圆半径r=1，
棱锥的高h=$\sqrt{3}$，
设棱锥外接球的半径为R，
则R²=（$\sqrt{3}$-R）²+1，
解得：R=$\frac{2}{\sqrt{3}}$，
故棱锥的外接球的表面积S=4πR²=$\frac{16}{3}π$．
故答案为：$\frac{16}{3}π$．

点评 本题考查四棱锥的外接球体积，考查学生的计算能力，确定四棱锥的外接球的半径是关键．