Question

己知函数f（x）=2sinωx•cosωx+2bcos²ωx-b（其中b＞0，ω＞0）的最大值为2，直线x=x₁，x=x₂是y=f（x） 图象的任意两条对称轴，且|x₁-x₂|的最小值为

π

2

．
（Ⅰ）求函数f（x）的单调增区间；
（Ⅱ）若f（a）=

2

3

，求sin（

5π

6

-4a）的值；
（Ⅲ）对?a∈R，在区间（a，a+s]上y=f（x）有且只有4个零点，请直接写出满足条件的所有S的值并把上述结论推广到一般情况．（不要求证明）

Answer 1

考点：两角和与差的正弦函数,函数的零点与方程根的关系,正弦函数的对称性

专题：归纳猜想型,函数的性质及应用,三角函数的图像与性质

分析：（Ⅰ）先化简函数f（x）根据已知求出b的值，从而确定函数f（x）的解析式进而可得单调增区间；
（Ⅱ）若f（a）=

2

3

，可求得sin（2a+

π

3

）=

1

3

，从而可求sin（

5π

6

-4a）的值；
（Ⅲ）由三角函数的图象与性质和已知即可得出结论．

解答： 解：（Ⅰ）f（x）=sin2ωx+bcos2ωx=

1+b2

sin（2ωx+φ）
T=2×

π

2

=π
T=

2π

2ω

=

π

ω

，所以ω=1
解

1+b2

=2得b=±

3

，
因为b＞0，所以b=

3

，故f（x）=2sin（2x+

π

3

）
由2kπ-

π

2

≤2x+

π

3

≤

π

2

+2kπ，k∈Z得：kπ-

5π

12

≤x≤

π

12

+kπ，k∉Z
所以函数f（x）的单调增区间为[kπ-

5π

12

，

π

12

+kπ]，k∉Z
（Ⅱ）由f（a）=

2

3

得sin（2a+

π

3

）=

1

3

sin（

5π

6

-4a）=sin[

3π

2

-2（2a+

π

3

）]=-cos[2（2a+

π

3

）]
=2sin2(2a+

π

3

)-1
=-

7

9

．
（Ⅲ）s=2π 
推广：对?a∈R，在区间（a，a+s]上y=f（x）有且只有n（n∈N^*）个零点，则s的值为

nπ

2

．
若写：对?a∈R，在区间（a，a+s]上y=f（x）有且只有2n（n∈N^*）个零点，则s的值为nπ．

点评：本题主要考察了三角函数的图象与性质，函数的零点与方程根的关系，正弦函数的对称性，属于中档题．