Question

已知平面向量

α

，

β

满足|

α

|=|

β

|=1，且

α

与

β

-

α

的夹角为120°，则|（1-t）

α

+2t

β

|（t∈R）的取值范围是

 

．

Answer 1

考点：数量积表示两个向量的夹角

专题：平面向量及应用

分析：根据|

α

|=|

β

|=1，且

α

与

β

-

α

的夹角为120°，算出

α

•（

β

-

α

）=-

1

2

|

β

-

α

|，又|

β

-

α

|2=2-2

α

•

β

，可解得

α

•

β

=1，|（1-t）

α

+2t

β

|²=（1-t）²

α

2+4t（1-t）

α

•

β

+4t²

β

2=3t²+1≥1．即可得出结论．

解答： 解：∵|

α

|=|

β

|=1，且

α

与

β

-

α

的夹角为120°，
∴

α

•（

β

-

α

）=-

1

2

|

β

-

α

|，

α

•

β

=-

1

2

|

β

-

α

|+1，①
又|

β

-

α

|2=2-2

α

•

β

，②
∴由①②联立可得

α

•

β

=1，
∴|（1-t）

α

+2t

β

|²=（1-t）²

α

2+4t（1-t）

α

•

β

+4t²

β

2=3t²+1≥1．
∴|（1-t）

α

+2t

β

|的取值范围为[1，+∞）．
故答案为：[1，+∞）．

点评：本题着重考查了平面向量数量积的公式、向量模的公式和实数的平方为非负数的性质等知识，属于中档题．