Question

5．已知函数$f（x）=\left\{{\begin{array}{l}{{x^2}-1（x＜1）}\\{\frac{lnx}{x}（x≥1）}\end{array}}\right.$关于x的方程2[f（x）]²+（1-2m）f（x）-m=0，有5不同的实数解，则m的取值范围是（　　）

• A． $（-1，\frac{1}{e}）$
• B． （0，+∞）
• C． $（0，\frac{1}{e}）$
• D． $（0，\frac{1}{e}]$

Answer 1

分析 利用导数研究函数y=$\frac{lnx}{x}$的单调性并求得最值，求解方程2[f（x）]²+（1-2m）f（x）-m=0得到f（x）=m或f（x）=$-\frac{1}{2}$．画出函数图象，数形结合得答案．

解答 解：设y=$\frac{lnx}{x}$，则y′=$\frac{1-lnx}{{x}^{2}}$，
由y′=0，解得x=e，
当x∈（0，e）时，y′＞0，函数为增函数，当x∈（e，+∞）时，y′＜0，函数为减函数．
∴当x=e时，函数取得极大值也是最大值为f（e）=$\frac{1}{e}$．
方程2[f（x）]²+（1-2m）f（x）-m=0化为[f（x）-m][2f（x）+1]=0．
解得f（x）=m或f（x）=$-\frac{1}{2}$．
如图画出函数图象：
可得m的取值范围是（0，$\frac{1}{e}$）．
故选：C．

点评 本题考查根的存在性与根的个数判断，考查利用导数求函数的最值，考查数形结合的解题思想方法，是中档题．