Question

20．已知数列{a_n}的前n项和S_n=3n²+8n，{b_n}是等差数列，且a_n=b_n+b_n+1．
（Ⅰ）求数列{a_n}，{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）令c_n=$\frac{{（{a}_{n}+1）}^{（n+1）}}{6{（{b}_{n}+2）}^{n}}$，求数列{c_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （I）数列{a_n}的前n项和S_n=3n²+8n，可得：n≥2时，a_n=S_n-S_n-1，n=1时，a₁=S₁=11，对于上式也成立．可得a_n．根据{b_n}是等差数列，设公差为d，且a_n=b_n+b_n+1．n分别取1，2．可得2b₁+d=11，2b₁+3d=17，解出即可得出．
（Ⅱ）令c_n=$\frac{{（{a}_{n}+1）}^{（n+1）}}{6{（{b}_{n}+2）}^{n}}$=（n+1）•2ⁿ，利用错位相减法与等比数列的求和公式即可得出．

解答 解：（I）数列{a_n}的前n项和S_n=3n²+8n，
可得：n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=3n²+8n-3（n-1）²-8（n-1）=6n+5，
n=1时，a₁=S₁=11，对于上式也成立．
∴a_n=6n+5．
∵{b_n}是等差数列，设公差为d，且a_n=b_n+b_n+1．
n分别取1，2．
∴2b₁+d=11，2b₁+3d=17，
解得b₁=4，d=3．
∴b_n=4+3（n-1）=3n+1．
（Ⅱ）令c_n=$\frac{{（{a}_{n}+1）}^{（n+1）}}{6{（{b}_{n}+2）}^{n}}$=（n+1）•2ⁿ，
∴数列{c_n}的前n项和T_n=2×2+3×2²+4×2³+…+（n+1）•2ⁿ，
2T_n=2×2²+3×2³+…+n•2ⁿ+（n+1）•2ⁿ⁺¹，
∴-T_n=2×2+2²+2³+…+2ⁿ-（n+1）•2ⁿ⁺¹=2+$\frac{2×（{2}^{n}-1）}{2-1}$-（n+1）•2ⁿ⁺¹，
可得：T_n=n•2ⁿ⁺¹．

点评 本题考查了等差数列与等比数列的通项公式求和公式、数列递推关系、错位相减法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．