Question

17．如图，四边形ABCD是边长为2的正方形，平面ABCD⊥平面ABEF，AF∥BE，AB⊥BE，AB=BE=2，AF=1．
（Ⅰ）求证：AC⊥平面BDE；
（Ⅱ）求证：AC∥平面DEF；
（Ⅲ）求三棱锥C-DEF的体积．

Answer 1

分析 （Ⅰ）推导出BE⊥AC，AC⊥BD．由此能证明AC⊥平面BDE．
（Ⅱ）设AC∩BD=O，设G为DE的中点，连结OG，FG，推导出四边形AOGF为平行四边形，从而AO∥FG，即AC∥FG，由此能证明AC∥平面DEF．
（Ⅲ）推导出点C到平面DEF的距离等于A点到平面DEF的距离，由V_C-DEF=V_A-DEF，能求出三棱锥C-DEF的体积．

解答 （本小题满分14分）
证明：（Ⅰ）因为平面ABCD⊥平面ABEF，
平面ABCD∩平面ABEF=AB，且AB⊥BE，所以BE⊥平面ABCD．
因为AC?平面ABCD，所以BE⊥AC．
又因为四边形ABCD为正方形，所以AC⊥BD．
因为BD∩BE=B，所以AC⊥平面BDE．…（4分）
（Ⅱ）设AC∩BD=O，
因为四边形ABCD为正方形，所以O为BD中点．
设G为DE的中点，连结OG，FG，
则OG∥BE，且$OG=\frac{1}{2}BE$．由已知AF∥BE，且$AF=\frac{1}{2}BE$，
则AF∥OG，且AF=OG．所以四边形AOGF为平行四边形．
所以AO∥FG，即AC∥FG．
因为AC?平面DEF，FG?平面DEF，
所以AC∥平面DEF．…（9分）
解：（Ⅲ）由（Ⅰ）可知BE⊥平面ABCD，
因为AF∥BE，所以AF⊥平面ABCD，所以AF⊥AB，AF⊥AD．
又因为四边形ABCD为正方形，所以AB⊥AD，
所以AD⊥平面ABEF．
由（Ⅱ）可知，AC∥平面DEF，
所以，点C到平面DEF的距离等于A点到平面DEF的距离，
所以 V_C-DEF=V_A-DEF．
因为AB=AD=2AF=2．
所以${V_{C-DEF}}={V_{A-DEF}}={V_{D-AEF}}=\frac{1}{3}×{S_{△AEF}}×AD=\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×AF×AB×AD$=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×1×2×2=\frac{2}{3}$．
故三棱锥C-DEF的体积为$\frac{2}{3}$．…（14分）

点评 本题考查线面垂直的证明，考查线面平行的证明，考查三棱锥的体积的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．