Question

5．若集合M满足：?x，y∈M，都有x+y∈M，xy∈M，则称集合M是封闭的．显然，整数集Z，有理数集Q都是封闭的．对于封闭的集合M（M⊆R），f：M→M是从集合到集合的一个函数，
①如果都有f（x+y）=f（x）+f（y），就称是保加法的；
②如果?x，y∈M都有f（xy）=f（x）•f（y），就称f是保乘法的；
③如果f既是保加法的，又是保乘法的，就称f在M上是保运算的．
在上述定义下，集合$\left\{{\sqrt{3}m+n\left|{m，n∈Q}\right.}\right\}$是封闭的（填“是”或“否”）；若函数f（x）在Q上保运算，并且是不恒为零的函数，请写出满足条件的一个函数f（x）=f（x）=x，x∈Q．

Answer 1

分析 设x=$\sqrt{3}$m+n，y=$\sqrt{3}$a+b，m，n，a，b∈Q，利用新定义证明即可，设当f（x）=x，x∈Q满足条件，设m，n∈Q，根据新定义验证即可．

解答 解：设x=$\sqrt{3}$m+n，y=$\sqrt{3}$a+b，m，n，a，b∈Q，
∴x+y=$\sqrt{3}$m+n+$\sqrt{3}$a+b=$\sqrt{3}$（m+a）+（n+b），m+a，n+b∈Q，
即f（x+y）=f（x）+f（y），
∴xy=（$\sqrt{3}$m+n）（$\sqrt{3}$a+b）=3ma+$\sqrt{3}$（mb+an）+bn=$\sqrt{3}$（mb+an）+（bn+3ma），mb，an，bn，3ma∈Q，
∴f（xy）=f（x）•f（y），
∴上述定义下，集合$\left\{{\sqrt{3}m+n\left|{m，n∈Q}\right.}\right\}$ 是封闭的，
当f（x）=x，x∈Q满足条件，
设m，n∈Q，
∴f（m+n）=m+n=f（m）+f（n），
f（mn）=mn=f（m）•f（n），
故答案为：是，f（x）=x，x∈Q

点评 本题考查了新定义的应用，关键是掌握题目所告诉的条件，属于基础题．