Question

2．已知函数f（x）=sin2x+2cos²x-1．
（Ⅰ）求f（x）最小正周期；
（Ⅱ）求f（x）在区间[0，$\frac{π}{2}$]上的最大值和最小值．

Answer 1

分析 利用三角恒等变换化简函数f（x），
即可求出（Ⅰ）函数f（x）的最小正周期，
（Ⅱ）根据x的取值范围，计算f（x）的最值．

解答 解：函数f（x）=sin2x+2cos²x-1
=sin2x+cos2x
=$\sqrt{2}sin（2x+\frac{π}{4}）$；…（4分）
（Ⅰ）函数f（x）的最小正周期为：
$T=\frac{2π}{2}=π$；…（6分）
（Ⅱ）∵$x∈[0，\frac{π}{2}]$，
∴$2x+\frac{π}{4}∈[\frac{π}{4}，\frac{5π}{4}]$；…（7分）
∴$sin（2x+\frac{π}{4}）∈[-\frac{{\sqrt{2}}}{2}，1]$；…（9分）
∴当$2x+\frac{π}{4}=\frac{5π}{4}$，即$x=\frac{π}{2}$时，f（x）取得最小值-1；…（11分）
∴当$2x+\frac{π}{4}=\frac{π}{2}$，即$x=\frac{π}{8}$时，f（x）取得最大值$\sqrt{2}$．…（13分）

点评 本题考查了三角函数的化简以及三角函数的图象与性质的应用问题，是基础题目．