Question

7．已知函数f（x）的定义域为R，且为可导函数，若对?x∈R，总有2f（x）+xf′（x）＜0成立（其中f′（x）是f（x）的导函数），则（　　）

• A． f（x）＞0恒成立
• B． f（x）＜0恒成立
• C． f（x）的最大值为0
• D． f（x）与0的大小关系不确定

Answer 1

分析 令g（x）=x²f（x），求出函数的导数，得到函数g（x）的单调区间，从而求出函数的最大值，求出答案即可．

解答 解：令g（x）=x²f（x），
则g′（x）=x[2f（x）+xf′（x）]，
若对?x∈R，总有2f（x）+xf′（x）＜0成立
则x＞0时，g′（x）＜0，x＜0时，g′（x）＞0，
故g（x）在（-∞，0）递增，在（0，+∞）递减，
故g（x）_max=g（0）=0，
故选：C．

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及转化思想，设出g（x）是解题的关键，本题是一道基础题．