Question

3．已知函数f（x）=xlnx．
（Ⅰ）求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（Ⅱ）若关于x的不等式f（x）≤λ（x²-1）对任意x∈[1，+∞）恒成立，求实数λ的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函数的导数，计算f（1），f′（1）的值，求出切线方程即可；
（Ⅱ）设函数H（x）=xlnx-λ（x²-1），当H′（x）≤0即$\frac{lnx+1}{x}$≤2λ恒成立时，函数H（x）递减，设r（x）=$\frac{lnx+1}{x}$，根据函数的单调性求出λ的范围即可．

解答 解：（Ⅰ）f′（x）=lnx+1，故f′（1）=1，又f（1）=0，
故切线方程是：y=x-1；
（Ⅱ）设函数H（x）=xlnx-λ（x²-1），
由题意得，对任意x∈[1，+∞），
不等式H（x）≤0=H（1）恒成立，
又H′（x）=lnx+1-2λx，
当H′（x）≤0即$\frac{lnx+1}{x}$≤2λ恒成立时，函数H（x）递减，
设r（x）=$\frac{lnx+1}{x}$，则r′（x）=$\frac{-lnx}{{x}^{2}}$≤0，
故r（x）_max=r（1）=1，即1≤2λ，解得：λ≥$\frac{1}{2}$，符合题意；
λ≤0时，H′（x）=lnx+1-2λx≥0恒成立，
此时函数H（x）递增，
于是，不等式H（x）≥H（1）=0对任意x∈[1，+∞）恒成立，不合题意；
当0＜λ＜$\frac{1}{2}$时，设q（x）=H′（x）=lnx+1-2λx，
则q′（x）=$\frac{1}{x}$-2λ=0，故x=$\frac{1}{2λ}$＞1，
x∈（1，$\frac{1}{2λ}$）时，q′（x）＞0，此时q（x）递增，
故H′（x）＞H′（1）=1-2λ＞0，
故x∈（1，$\frac{1}{2λ}$）时，函数H（x）递增，
于是，x∈（1，$\frac{1}{2λ}$）时，H（x）＞0成立，不合题意，
综上，实数λ的范围是[$\frac{1}{2}$，+∞）．

点评 本题考查了导数的几何意义，导数与函数的单调性、最值、着重考查运算能力以及推理能力，是一道综合题．