Question

8．已知函数f（x）=[（a-1）x-a]lnx+x-1，a≥$\frac{1}{2}$．
（I）当a=1时，求f（x）的最小值；
（II）求证：f（x）在区间（0，1）单调递减．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，求出函数的最小值即可；
（Ⅱ）求出函数的导数，通过讨论a的范围，确定函数的单调区间，从而证明结论即可．

解答 解：（Ⅰ）a=1时，f（x）=-lnx+x-1，f′（x）=$\frac{x-1}{x}$，
令f′（x）＞0，解得：x＞1，令f′（x）＜0，解得：0＜x＜1，
故f（x）在（0，1）递减，在（1，+∞）递增，
故f（x）_min=f（1）=0；
（Ⅱ）f′（x）=（a-1）lnx+$\frac{a（x-1）}{x}$，
若a≥1，x∈（0，1）时，f′（x）＜0，f（x）在（0，1）递减，
若$\frac{1}{2}$≤a＜1，由（Ⅰ）得，x∈（0，1）时，
-ln$\frac{1}{x}$+$\frac{1}{x}$-1＞0，即lnx＞$\frac{x-1}{x}$，
则f′（x）=（a-1）lnx+$\frac{a（x-1）}{x}$＜$\frac{（a-1）（x-1）}{x}$+$\frac{a（x-1）}{x}$=$\frac{（2a-1）（x-1）}{x}$≤0，
f（x）在（0，1）递减，
综上，a≥$\frac{1}{2}$时，f（x）在区间（0，1）递减．

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，是一道中档题．