Question

18．在平面直角坐标系xOy中，曲线C₁的参数方程是$\left\{\begin{array}{l}{x=1+\sqrt{3}cosα}\\{y=\sqrt{3}sinα}\end{array}\right.$（α为参数），以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C₂的极坐标方程为ρ=1．
（Ⅰ）分别写出C₁的极坐标方程和C₂的直角坐标方程；
（Ⅱ）若射线l的极坐标方程θ=$\frac{π}{3}$（ρ≥0），且l分别交曲线C₁、C₂于A、B两点，求|AB|．

Answer 1

分析 （Ⅰ） 将C₁的参数方程化为普通方程为（x-1）²+y²=3，即x²+y²-2x-2=0，利用互化公式可得：C₁的极坐标方程．同理利用互化公式将C₂的极坐标方程ρ=1化为直角坐标方程．
（Ⅱ）将$θ=\frac{π}{3}$（ρ≥0），代入C₁：ρ²-2ρcosθ-2=0．整理得ρ²-ρ-2=0，解得：ρ₁，可得|OA|=ρ₁．把射线θ=$\frac{π}{3}$（ρ≥0）代入C₂的方程，解得ρ₂=1，即|OB|=ρ₂．可得|BA|=|ρ₁-ρ₂|．

解答 解：（Ⅰ） 将C₁的参数方程化为普通方程为（x-1）²+y²=3，即x²+y²-2x-2=0，
∴C₁的极坐标方程为ρ²-2ρcosθ-2=0．
将C₂的极坐标方程ρ=1化为直角坐标方程为x²+y²=1．
（Ⅱ）将$θ=\frac{π}{3}$（ρ≥0），代入C₁：ρ²-2ρcosθ-2=0．整理得ρ²-ρ-2=0，
解得：ρ₁=2，即|OA|=2．
∵曲线C₂是圆心在原点，半径为1的圆，
∴射线θ=$\frac{π}{3}$（ρ≥0）与C₂相交，则ρ₂=1，即|OB|=1．
故|BA|=|ρ₁-ρ₂|=2-1=1．

点评 本题考查了参数方程化为普通方程、极坐标方程与直角坐标方程的互化、直线与圆相交弦长问题，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．