Question

12．设点P是函数y=-$\sqrt{2x-{x}^{2}}$图象上的任意一点，点P是直线x-2y-6=0上的任意一点，则|PQ|的最小值为．

• A． $\frac{4}{\sqrt{5}}$
• B． $\sqrt{5}$+1
• C． $\sqrt{5}$-1
• D． 以上答案都不对

Answer 1

分析 通过变形可知函数y=-$\sqrt{2x-{x}^{2}}$图象是以T（1，0）为圆心、1为半径的位于x轴下方的半圆，利用所求值为点T到直线x-2y-6=0的距离减去半径计算即得结论．

解答 解：∵y=-$\sqrt{2x-{x}^{2}}$，
∴y²=2x-x²，（x-1）²+y²=1（y≤0），
即函数y=-$\sqrt{2x-{x}^{2}}$图象是以T（1，0）为圆心、1为半径的位于x轴下方的半圆，
过点T作TQ垂直于直线x-2y-6=0并交于点Q、交半圆于P，则所求值为|TQ|-|TP|，
∵|TQ|=$\frac{|1-0-6|}{\sqrt{1+{2}^{2}}}$=$\sqrt{5}$，
∴所求值为$\sqrt{5}$-1，
故选：C．

点评 本题是一道直线与圆锥曲线的综合题，考查数形结合能力，注意解题方法的积累，属于中档题．