Question

已知函数f（x）=sinx-

1

2

x（x∈[0，π]），那么下列结论正确的是（　　）

• A、f（x）在[0，

  π

  2

  ]上是增函数
• B、f（x）在[

  π

  6

  ，π]上是减函数
• C、?x∈[0，π]，f（x）＞f(

  π

  3

  )
• D、?x∈[0，π]，f（x）≤f(

  π

  3

  )

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性

专题：导数的概念及应用

分析：对函数f（x）求导，令f′（x）=0，判定f（x）在其定义域上的单调性与最值，从而判定各选项是否正确．

解答： 解：∵函数f（x）=sinx-

1

2

x（x∈[0，π]），
∴f′（x）=cosx-

1

2

；
令f′（x）=0，得x=

π

3

；
∴x∈[0，

π

3

]时，f′（x）＞0，f（x）是增函数；
x∈[

π

3

，π]时，f′（x）＜0，f（x）是减函数；
∴f（x）在x=

π

3

时有极大值，也是最大值f（

π

3

）．
∴选项A、B、C错误，D正确．
故选：D．

点评：本题考查了利用导数来研究函数的单调性与最值的问题，解题时应先考虑函数的性质，再判定各选项是否正确，是基础题．