题目内容
已知偶函数y=f（x）在区间[a，b]上单调递增，求证：函数y=f（x）在区间[-b，-a]上单调递减．若是奇函数，又有怎么样的结论？
考点：奇偶性与单调性的综合
专题：函数的性质及应用
分析：利用函数单调性的定义以及函数奇偶性的性质，即可得到结论．
解答：
证明：（单调递减）
设-b＜x1＜x2＜-a，则b＞-x1＞-x2＞a，
∵y=f（x）在区间[a，b]上单调递增，
∴f（-x1）＞f（-x2），
∵y=f（x）是偶函数，
∴f（-x）=f（x），
即f（-x1）＞f（-x2）等价为f（x1）＞f（x2），
则函数y=f（x）在区间[-b，-a]上单调递减．
②若y=f（x）是奇函数，
则f（-x）=-f（x），
即f（-x1）＞f（-x2）等价为-f（x1）＞-f（x2），
∴（x1）＜f（x2），
则函数y=f（x）在区间[-b，-a]上单调递增．
设-b＜x1＜x2＜-a，则b＞-x1＞-x2＞a，
∵y=f（x）在区间[a，b]上单调递增，
∴f（-x1）＞f（-x2），
∵y=f（x）是偶函数，
∴f（-x）=f（x），
即f（-x1）＞f（-x2）等价为f（x1）＞f（x2），
则函数y=f（x）在区间[-b，-a]上单调递减．
②若y=f（x）是奇函数，
则f（-x）=-f（x），
即f（-x1）＞f（-x2）等价为-f（x1）＞-f（x2），
∴（x1）＜f（x2），
则函数y=f（x）在区间[-b，-a]上单调递增．
点评：本题主要考查函数单调性的证明，根据函数单调性的定义以及函数奇偶性的性质是解决本题的关键．
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