Question

如图⊙O₂：x²+y²=9，A（-2，0），B（2，0）为两个定点，l是⊙O的一条切线，若过A、B两点的抛物线以直线l为准线，则抛物线焦点的轨迹方程是

 

．

Answer 1

考点：轨迹方程,抛物线的简单性质

专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：焦点到A和B的距离之和等于A和B分别到准线的距离和，而距离之和为A和B的中点O到准线的距离的二倍是定值，结合椭圆的定义得焦点的轨迹方程C是以A和B为焦点的椭圆．

解答： 解：由题设知，焦点到A和B的距离之和等于A和B分别到准线的距离和．
而距离之和为A和B的中点O到准线的距离的二倍，即为2r=6，
根据椭圆的定义得，所以焦点的轨迹方程C是以A和B为焦点的椭圆，且a=3，c=2，
所以b=

a2-c2

=

5

，
所以抛物线焦点的轨迹方程是

x2

9

+

y2

5

=1(x≠±3)．
故答案为：

x2

9

+

y2

5

=1(x≠±3)．

点评：本小题主要考查椭圆的定义、圆锥曲线的轨迹问题等基础知识，考查数形结合思想、化归与转化思想．属于中档题．