Question

已知向量

m

=（sin（x+

π

4

），

3

cos（x+

π

4

）），

n

=（sin（x+

π

4

），cos（x-

π

4

）），函数f（x）=

m

•

n

，x∈R．
（Ⅰ）求函数y=f（x）的图象的对称中心坐标；
（Ⅱ）将函数y=f（x）图象向下平移

1

2

个单位，再向左平移

π

3

个单位得函数y=g（x）的图象，试写出y=g（x）的解析式并作出它在[-

π

6

，

5π

6

]上的图象．

Answer 1

考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换,平面向量数量积的运算

专题：

分析：（Ⅰ）利用平面向量的数量积的坐标运算可求得y=f（x）的解析式，利用正弦函数的性质可求得其对称中心坐标；
（Ⅱ）依题意，可求得g（x）=sin（2x+

π

3

），通过列表，描点可作出它在[-

π

6

，

5π

6

]上的图象

解答： 解：（Ⅰ）f（x）=

m

•

n

=sin2(x+

π

4

)-

3

cos（x+

π

4

）cos（x-

π

4

）
=

1

2

（1+sin2x）-

3

2

cos2x
=sin（2x-

π

3

）+

1

2

，…（4分）
由sin（2x-

π

3

）=0得：2x-

π

3

=kπ，k∈Z，
∴x=

1

2

kπ+

π

6

，k∈Z．
∴f（x）的图象的对称中心坐标为（

1

2

kπ+

π

6

，

1

2

），k∈Z．     …（6分）
（Ⅱ）令h（x）=f（x）-

1

2

，则h（x）=sin（2x-

π

3

），
∴g（x）=h（x+

π

3

）=sin[2（x+

π

3

）-

π

3

]=sin（2x+

π

3

），
列表：
，
描点、连线得函数y=g（x）在[-

π

6

，

5π

6

]上的图象如图所示：

…（12分）

点评：本题考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换，考查平面向量的数量积的坐标运算，考查列表作图能力，属于中档题．