Question

如图，在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E，H分别是棱A₁B₁，D₁C₁上的点（点E与B₁不重合），且EH∥A₁D₁，过EH的平面与棱BB₁，CC₁相交，交点分别为F，G．设AB=2AA₁=2a，EF=a，B₁E=2B₁F．在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁内随机选取一点，则该点取自于几何体A₁ABFE-D₁DCGH内的概率为

 

．

Answer 1

考点：几何概型

专题：概率与统计

分析：在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，得到几何体A₁ABFE-D₁DCGH和EB₁F-HC₁G是等高的五棱柱和三棱柱，
根据柱体的体积公式可得几何体EB₁F-GC₁H的体积等于长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁体积的

1

10

，
由此利用几何概型计算公式即可算出所求的概率．

解答： 解：因为EH∥A₁D₁，则EH∥B₁C₁，所以EH∥平面B₁C₁CB，
过EH的平面与平面B₁C₁CB交于FG，则EH∥FG，
所以易证明几何体A₁ABFE-D₁DCGH和EB₁F-HC₁G是等高的五棱柱和三棱柱，
由于在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=2AA₁=2a，EF=a，B₁E=2B₁F，
则B₁E=

2 5

5

，B₁F=

5

5

．
由几何概型可知，长方体内任一点取自于几何体A₁ABFE-D₁DCGH内的概率为：
P=1-

V三棱柱

V

=1-

S△EB1F

S矩形ABB1A1

=1-

1 2 • 5 5 a• 2 5 5 a

2a2

=

9

10

．
故答案为：

9

10

．

点评：本题着重考查了正方体的性质、柱体体积公式和几何概型及其应用等知识，属于中档题．