Question

3．已知函数f（x）=x²-2x+1，g（x）=2aln（x-1）（a∈R）．
（1）求函数h（x）=f（x）-g（x）的极值；
（2）当a＞0时，若存在实数k，m使得不等式g（x）≤kx+m≤f（x）恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求出h（x），得出导函数，对参数a分类讨论即可；
（2）结合（1）的讨论，当a＞0时，有（1）知，h（x）在$（1，1+\sqrt{a}]$上递减，在$（1+\sqrt{a}，+∞）$上递增，且有极小值$h（1+\sqrt{a}）=a（1-lna）$，构造函数$u（x）={[x-（1+\sqrt{a}）]^2}≥0$，
，$v（x）=2\sqrt{a}x-（2\sqrt{a}+a）-g（x）$=$2\sqrt{a}x-（2\sqrt{a}+a）-2aln（x-1）$，对参数a分类讨论即可．

解答 解：（1）由题意得h（x）=（x-1）²-2aln（x-1），x＞1，
∴$h'（x）=\frac{{2[{{（x-1）}^2}-a]}}{x-1}$，
①当a≤0时，则h'（x）＞0，此时h（x）无极值；
②当a＞0时，令h'（x）＜0，则$1＜x＜1+\sqrt{a}$；令h'（x）＞0，则$x＞1+\sqrt{a}$；
∴h（x）在$（1，1+\sqrt{a}]$上递减，在$（1+\sqrt{a}，+∞）$上递增；
∴h（x）有极小值$h（1+\sqrt{a}）=a（1-lna）$，无极大值；
（2）当a＞0时，有（1）知，h（x）在$（1，1+\sqrt{a}]$上递减，在$（1+\sqrt{a}，+∞）$上递增，且有极小值$h（1+\sqrt{a}）=a（1-lna）$，
①当a＞e时，$h（1+\sqrt{a}）=a（1-lna）＜0$，
∴$f（1+\sqrt{a}）＜g（1+\sqrt{a}）$，
此时，不存在实数k，m，使得不等式g（x）≤kx+m≤f（x）恒成立；
②当0＜a≤e时，$h（1+\sqrt{a}）=a（1-lna）≥0$，f（x）=x²-2x+1在$x=1+\sqrt{a}$处的切线方程为$y=2\sqrt{a}x-（2\sqrt{a}+a）$，
令$u（x）=f（x）-[2\sqrt{a}x-（2\sqrt{a}+a）]$，x＞1，
则$u（x）={[x-（1+\sqrt{a}）]^2}≥0$，
∴$2\sqrt{a}x-（2\sqrt{a}+a）≤f（x）$，
令$v（x）=2\sqrt{a}x-（2\sqrt{a}+a）-g（x）$=$2\sqrt{a}x-（2\sqrt{a}+a）-2aln（x-1）$，x＞1，
则$v'（x）=\frac{{2\sqrt{a}[x-（1+\sqrt{a}）]}}{x-1}$，
令v'（x）＜0，则$1＜x＜1+\sqrt{a}$；令v'（x）＞0，则$x＞1+\sqrt{a}$；
∴$v（x）≥v（1+\sqrt{a}）$=a（1-lna）≥0，
∴$g（x）≤2\sqrt{a}x-（2\sqrt{a}+a）$，
∴$g（x）≤2\sqrt{a}x-（2\sqrt{a}+a）≤f（x）$，
当$k=2\sqrt{a}$，$m=-2\sqrt{a}-a$时，不等式g（x）≤kx+m≤f（x）恒成立，
∴0＜a≤e符合题意；
由①，②得实数a的取值范围为（0，e]．

点评 本题考查了利用导函数判断函数的极值，难道是对题意的理解和通过函数构造解决实际问题的方法．