Question

8．已知椭圆C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的左焦点为F，直线y=kx（k＞0）与椭圆C交于A，B两点，若$AF⊥BF，∠FAB∈（0，\frac{π}{12}]$，则C的离心率取值范围为（　　）

• A． $[\frac{{\sqrt{2}}}{2}，1）$
• B． $[\frac{{\sqrt{6}}}{3}，1）$
• C． $[\frac{{\sqrt{3}}}{3}，1）$
• D． $[\frac{2}{3}，1）$

Answer 1

分析 由题意可知：四边形AFBF₂是矩形．由丨BF丨=2ccosθ，丨BF₂丨=丨AF丨=2csinθ，根据椭圆的定义丨BF丨+丨BF₂丨=2a，即可表示出e=$\frac{1}{cosθ+sinθ}$，利用辅助角公式，及正弦函数的性质，即可求得sinθ+cosθ的取值范围，即可求得椭圆的离心率的取值范围．

解答 解：设F₂是椭圆的右焦点，由AF⊥BF，
∵O点为AB的中点，丨OF丨=丨OF₂丨，则四边形AFBF₂是平行四边形，
∴四边形AFBF₂是矩形．
如图所示设∠ABF=θ，则丨BF丨=2ccosθ，丨BF₂丨=丨AF丨=2csinθ，
丨BF丨+丨BF₂丨=2a，
∴2ccosθ+2csinθ=2a，
∴e=$\frac{1}{cosθ+sinθ}$，
sinθ+cosθ=$\sqrt{2}$sin（θ+$\frac{π}{4}$），
∵θ∈（0，$\frac{π}{12}$]，
∴θ+$\frac{π}{4}$∈（$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{3}$]，则sin（θ+$\frac{π}{4}$）∈（$\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），
∴$\sqrt{2}$sin（θ+$\frac{π}{4}$）∈（1，$\frac{\sqrt{6}}{2}$），
∴e∈[$\frac{\sqrt{6}}{3}$，1）．
故选B．

点评 本题考查椭圆的性质，考查椭圆的定义，辅助角公式的应用，正弦函数的性质，考查计算能力，考查数形结合思想，属于中档题．