Question

设函数f（x）=x²-ax+a+3，g（x）=ax-2a．
（1）对于任意a∈[-2，2]都有f（x）＞g（x） 成立，求x的取值范围；
（2）当a＞0 时对任意x₁，x₂∈[-3，-1]恒有f（x₁）＞-ag（x₂），求实数a的取值范围；
（3）若存在x₀∈R，使得f（x₀）＜0与g（x₀）＜0同时成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：二次函数的性质

专题：函数的性质及应用

分析：（1）由题意可得，（-2x+3）a+x²+3＞0 对于任意a∈[-2，2]恒成立．设h（a）=（-2x+3）a+x²+3，则有

h(-2)=x2-4x+9＞0 h(2)=x2+4x-3＞0

，解不等式组可得x的范围．
（2）由题意可知在区间[-3，-1]上，[f（x）]_min＞[-ag（x）]_max．利用二次函数的单调性求得f（x）_min和[-ag（x）]_max 的值，解不等式求得a的范围．
（3）分a=0、a＜0、a＞0三种情况，分别由条件求得a的范围，再取并集，即得所求．

解答： 解：（1）因为对于任意a∈[-2，2]都有f（x）＞g（x） 成立，都有x²-ax+a+3＞ax-2a，
即（-2x+3）a+x²+3＞0 对于任意a∈[-2，2]恒成立．
设h（a）=（-2x+3）a+x²+3，则有

h(-2)=x2-4x+9＞0 h(2)=x2+4x-3＞0

，解不等式组可得x＞-2+

7

，或x＜-2-

7

．
（2）由题意可知在区间[-3，-1]上，[f（x）]_min＞[-ag（x）]_max．
因为f（x）=x²-ax+a+3 的图象的对称轴x=

a

2

＞0，所以f（x）=x²-ax+a+3 在[-3，-1]上单调递减，可得f（x）_min=f（-1）=2a+4．
因为-ag（x）=-a²x+2a² 在[-3，-1]上单调递减，可得[-ag(x)]max=5a2，所以2a+4＞5a²，可得0＜a＜

1+ 21

5

．
（3）若a=0，则g（x）=0，不合题意，舍去．
若a＜0，由g（x）＜0 可得x＞2．原题可转化为在区间（2，+∞） 上存在x₀，使得f（x₀）＜0．
因为f（x）=x²-ax+a+3 在[

a

2

，+∞) 上单调递增，所以f（2）＜0，可得a＞7，又因为a＜0，不合题意．
若a＞0，由g（x）＜0 可得x＜2，原题可转化为在区间（-∞，2）上若存在x₀，使得f（x₀）＜0．
当

a

2

＞2 时，即a＞4 时，f（2）=7-a＜0，可得a＞7；当

a

2

＜2 时，即0＜a＜4 时，f(

a

2

)＜0，可得a＞6 或a＜-2．
综上可知a＞7．

点评：本题主要考查二次函数的性质的应用，函数的恒成立问题，体现了分类讨论、转化的数学思想，属中档题．