Question

定义域是R上的函数f（x）满足f（x+2）=2f（x），当x∈（0，2]时，f（x）=

x2-x，x∈(0，1] -log2x，x∈(1，2]

，若x∈（-4，-2]时，f（x）≤

t

4

-

1

2t

有解，则实数t的取值范围是（　　）

• A、[-2，0）∪（0，1）
• B、[-2，0）∪[1，+∞）
• C、[-2，1]
• D、（-∞，-2]∪（0，1]

Answer 1

考点：分段函数的应用

专题：计算题,函数的性质及应用

分析：由f（x+2）=2f（x）及当x∈（0，2]时，f（x）=

x2-x，x∈(0，1] -log2x，x∈(1，2]

可化简得当x∈（-4，-2]时，f（x）=

1

2

f（x+2）=

1

4

f（x+4）=

1 4 (x2+7x+12)，-4＜x≤-3 - 1 4 log2(4+x)，-3＜x≤-2

；从而求得-

1

4

≤

t

4

-

1

2t

，从而解得．

解答： 解：∵f（x+2）=2f（x），
又∵当x∈（-4，-2]时，x+4∈（0，2]；
∴f（x）=

1

2

f（x+2）=

1

4

f（x+4）
=

1 4 (x2+7x+12)，-4＜x≤-3 - 1 4 log2(4+x)，-3＜x≤-2

；
由分段函数可求得，
f（x）≥-

1

4

；
故-

1

4

≤

t

4

-

1

2t

，
解得，t∈[-2，0）∪[1，+∞）；
故选B．

点评：本题考查了分段函数的性质的判断与应用，同时考查了恒成立问题，属于中档题．