Question

设函数f（x）=|x²-1|+x²+kx．
（1）若k=2，求方程f（x）=0的解；
（2）若函数f（x）在（0，2）上有两个不同的零点x₁，x₂，求k的取值范围；并证明：

1

x1

+

1

x2

＜4．

Answer 1

考点：函数零点的判定定理,根的存在性及根的个数判断

专题：计算题,证明题,函数的性质及应用

分析：（1）k=2时，f（x）=|x²-1|+x²+2x，从而讨论求方程f（x）=0的解；
（2）不妨设0＜x₁＜x₂＜2，则化简f（x）=|x²-1|+x²+kx=

2x2+kx-1，(|x|≥1) kx+1，(|x|＜1)

；从而可确定0＜x₁＜1≤x₂＜2；从而可得kx₁+1=0，2x²+kx-1=0；从而求k的取值范围并证明

1

x1

+

1

x2

＜4．

解答： 解：（1）k=2时，f（x）=|x²-1|+x²+2x，
当|x|≥1时，f（x）=2x²+2x-1，
由f（x）=2x²+2x-1=0得，
x=

-1- 3

2

，x=

-1+ 3

2

（舍去），
当|x|＜1时，f（x）=2x+1，
由2x+1=0得x=-

1

2

； 
故当k=2时，方程f（x）=0的解是x=

-1- 3

2

或x=-

1

2

．    
（2）不妨设0＜x₁＜x₂＜2，
∵f（x）=|x²-1|+x²+kx=

2x2+kx-1，(|x|≥1) kx+1，(|x|＜1)

；　　　　    　
若x₁，x₂∈[1，2），与x₁x₂=-

1

2

矛盾，
则0＜x₁＜1≤x₂＜2；
则kx₁+1=0  ①，2x²+kx-1=0  ②；
由①得：k=-

1

x1

＜-1，
由②得：k=

1

x2

-2x₂∈（-

7

2

，-1]；　
∴k的取值范围是（-

7

2

，-1）；                               
联立①、②消去k得：
2

x

2 2

-

1

x1

x₂-1=0；
即

1

x1

+

1

x2

＜2x₂＜4．

点评：本题考查了函数的性质的判断与应用，同时考查了分段函数的应用，属于基础题．