题目内容
设函数f（x）=x3+ax2-a2x+m（a＞0）
（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若函数f（x）在x∈[-1，1]内没有极值点，求a的取值范围；
（Ⅲ）若对任意的a∈[3，6]，不等式f（x）≤1在x∈[-2，2]上恒成立，求m的取值范围．
（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若函数f（x）在x∈[-1，1]内没有极值点，求a的取值范围；
（Ⅲ）若对任意的a∈[3，6]，不等式f（x）≤1在x∈[-2，2]上恒成立，求m的取值范围．
考点：利用导数研究函数的单调性,利用导数研究函数的极值
专题：导数的综合应用
分析：（Ⅰ）先求导，利用导数来判断函数的单调区间．
（Ⅱ）要使函数f（x）在x∈[-1，1]内没有极值点，只需f′（x）=0在（-1，1）上没有实根即可．
（Ⅲ）先求出f（x）max，再由题意得f（x）max≤1即-8+4a+2a2+m≤1，再分离参数，再求函数的最小值即可．
（Ⅱ）要使函数f（x）在x∈[-1，1]内没有极值点，只需f′（x）=0在（-1，1）上没有实根即可．
（Ⅲ）先求出f（x）max，再由题意得f（x）max≤1即-8+4a+2a2+m≤1，再分离参数，再求函数的最小值即可．
解答：
解：（Ⅰ）∵f′（x）=3x2+2ax-a2=3（x-
）（x+a），
又a＞0，∴当x＜-a或x＞
时f′（x）＞0；
当-a＜x＜
时，f′（x）＜0．
∴函数f（x）的单调递增区间为（-∞，-a），（
，+∞），单调递减区间为（-a，
）．
（Ⅱ）由题设可知，方程f′（x）=3x2+2ax-a2=0在[-1，1]上没有实根，
∴
，解得a＞3．
故a的取值范围为（3，+∞）
（Ⅲ）∵a∈[3，6]，∴由（Ⅰ）知
∈[1，2]，-a≤-3
又x∈[-2，2]
∴f（x）max=max{f（-2），f（2）}
而f（2）-f（-2）=16-4a2＜0
f（x）max=f（-2）=-8+4a+2a2+m
又∵f（x）≤1在[-2，2]上恒成立
∴f（x）max≤1即-8+4a+2a2+m≤1
即m≤9-4a-2a2，在a∈[3，6]上恒成立
∵9-4a-2a2的最小值为-87
∴m≤-87．
故m的取值范围为（-∞，87]
| a |
| 3 |
又a＞0，∴当x＜-a或x＞
| a |
| 3 |
当-a＜x＜
| a |
| 3 |
∴函数f（x）的单调递增区间为（-∞，-a），（
| a |
| 3 |
| a |
| 3 |
（Ⅱ）由题设可知，方程f′（x）=3x2+2ax-a2=0在[-1，1]上没有实根，
∴
|
故a的取值范围为（3，+∞）
（Ⅲ）∵a∈[3，6]，∴由（Ⅰ）知
| a |
| 3 |
又x∈[-2，2]
∴f（x）max=max{f（-2），f（2）}
而f（2）-f（-2）=16-4a2＜0
f（x）max=f（-2）=-8+4a+2a2+m
又∵f（x）≤1在[-2，2]上恒成立
∴f（x）max≤1即-8+4a+2a2+m≤1
即m≤9-4a-2a2，在a∈[3，6]上恒成立
∵9-4a-2a2的最小值为-87
∴m≤-87．
故m的取值范围为（-∞，87]
点评：本题考查利用导数求闭区间上函数的最值，利用导数研究函数的单调性，还考查了变量分离的思想方法，属于中档题．
练习册系列答案
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cosθ-sinθ=
，则sin2θ=（ ）
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A、-
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B、
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C、
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D、-
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