Question

在直角坐标系xOy中，已知任意角θ以坐标原点O为顶点，以x轴的正半轴为始边，若终边经过P（x₀，y₀）且|OP|=r（r＞0），定义：sosθ=

y0+x0

r

，称“sosθ”为“正余弦函数”，对于“正余弦函数”y=sosx，有同学得到以下性质：
①该函数的值域为[-

2

，

2

]；
②该函数的图象关于原点对称；
③该函数的图象关于直线x=

3π

4

对称；
④该函数为周期函数，且最小正周期为2π；
⑤该函数的单调递增区间为[2kπ-

3π

4

，2kπ+

π

4

]，k∈Z
其中上述性质正确的是

 

（填上所有正确性质的序号）

Answer 1

考点：三角函数线

专题：三角函数的图像与性质

分析：根据“正余弦函数”的定义得到函数y=sosx=

2

sin(x+

π

4

)，然后根据三角函数的图象和性质分别进行判断即可得到结论．

解答： 解：①由三角函数的定义可知x₀=rcosx，y₀=rsinx，
∴y=sosx=

y0+x0

r

=

rsin?x+rcos?x

r

=sinx+cos?x=

2

sin?(x+

π

4

)∈[-

2

，

2

]，
∴函数的值域为[-

2

，

2

]，∴①正确．
②∵y=f（x）=sosx=

2

sin(x+

π

4

)，
∴f（0）=

2

sin?

π

4

=1≠0，∴函数关于原点对称错误，∴②错误．
③当x=

3π

4

时，f(

3π

4

)=

2

sin?(

3π

4

+

π

4

)=

2

sin?π=0≠±

2

，
∴图象关于直线x=

3π

4

不对称，∴③错误．
④∵y=f（x）=sosx=

2

sin(x+

π

4

)，
∴函数为周期函数，且最小正周期为2π；
∴④正确．
⑤∵y=f（x）=sosx=

2

sin(x+

π

4

)，
∴由2kπ-

π

2

≤x+

π

4

≤2kπ+

π

2

，
得2kπ-

3π

4

≤x≤2kπ+

π

4

，
即函数的单调递减区间为[2kπ-

3π

4

，2kπ+

π

4

]，k∈Z
∴⑤正确，
故正确的是①④⑤，
故答案为：①④⑤

点评：本题主要考查三角函数的图象和性质，根据函数的定义求出函数y=sosx的表达式是解决本题的关键，要求熟练掌握三角函数的图象和性质．