Question

已知命题p：关于x的不等式x²+（a-1）x+1≤0的解集为φ；命题q：双曲线

x2

a2

-

y2

4

=1（a＞0）的离心率不小于

3

．若命题“p∧q”为假命题，“p∨q”为真命题，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：复合命题的真假

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程,简易逻辑

分析：根据一元二次不等式的解集为空集时△的取值情况，以及双曲线的离心率即可求出命题p，q下a的取值范围，而根据p∧q为假命题，p∨q为真命题得p真q假，或p假q真两种情况，求出每种情况下a的取值范围再求并集即可．

解答： 解：命题p：关于x的不等式x²+（a-1）x+1≤0的解集为空集φ；
∴（a-1）²-4＜0，解得-1＜a＜3；
由命题q：

x2

a2

-

y2

4

=1的离心率不小于

3

，所以 

a2+4

a

≥

3

，解得0＜a≤

2

；
命题p∧q为假命题，p∨q为真命题，所以p、q中一真一假；
若p真q假，则

-1＜a＜3 a＞ 2

，∴

2

＜a＜3；
若p假q真，则a不存在；
所以实数a的取值范围为(

2

，3)．

点评：考查一元二次不等式的解和判别式△取值的关系，以及双曲线的标准方程，离心率，p∧q，p∨q的真假和p，q真假的关系．