Question

在正项等比数列{a_n}中，已知a₁＜a₄=1，若集A={t|（a₁-

1

a1

）+（a₂-

1

a2

）+…+（a_t-

1

at

）≤0，t∈N^*}，则A中元素个数为

 

．

Answer 1

考点：等比数列

专题：等差数列与等比数列

分析：设公比为q，由已知得a₁=q^-3，从而（a₁-

1

a1

）+（a₂-

1

a2

）+…+（a_t-

1

at

）=

a1(1-qt)

1-q

-

1 a1 (1- 1 qt )

1- 1 qt

=

qt-1

a1(q-1)qt-1

（a₁²q^n-1-1）=

qt-1

a1(q-1)qt-1

•[q^n-7-1]≤0，由此求出n≤7．

解答： 解：设公比为q
∵a₁＜a₄=a₁q³=1
∴0＜a₁＜1  1＜q³，q＞1，①
∴a₁=q^-3，②
∴（a₁-

1

a1

）+（a₂-

1

a2

）+…+（a_t-

1

at

）
=（a₁+a₂+…+a_t）-（

1

a1

+

1

a2

+…+

1

at

）（后一个首项

1

a1

，公比

1

q

）
=

a1(1-qt)

1-q

-

1 a1 (1- 1 qt )

1- 1 qt

=

qt-1

a1(q-1)qt-1

（a₁²q^n-1-1），
代入②，得

qt-1

a1(q-1)qt-1

•[q^n-7-1]≤0
∵

qt-1

a1(q-1)qt-1

＞0
∴q^n-7-1≤0
q^n-7≤1
∴n-7≤0
解得n≤7
故答案为：7．

点评：本题考查集合中元素个数的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意等比数列的性质的合理运用．