Question

已知函数f（x）=lg

x2+1

|x|

，（x∈R且x≠0）有下列命题：
①y=f（x）的图象关于y轴对称；
②当x＞0时，当x＜0时，y=f（x）是减函数；
③y=f（x）的最小值是lg2．
其中正确的命题是

 

．

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用

专题：函数的性质及应用,简易逻辑

分析：由函数奇偶性的定义判断函数为偶函数判断①；利用对勾函数的单调性判断②；由对勾函数的最值及复合函数的最值结合函数奇偶性求得函数的最值判断③．

解答： 解：函数f（x）=lg

x2+1

|x|

，（x∈R且x≠0）．
∵f（-x）=lg

(-x)2+1

|-x|

=lg

x2+1

|x|

=f（x），∴函数f（x）为偶函数，图象关于y轴对称，命题①正确；
当x＞0时，t（x）=

x2+1

|x|

=

x2+1

x

=x+

1

x

，在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上得到递增，
∴f（x）=lg

x2+1

|x|

在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上得到递增，命题②错误；
由②知，f（x）=lg

x2+1

|x|

在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上得到递增，f（x）在（0，+∞）上的最小值为f（1）=lg2，
由函数f（x）为偶函数，则f（x）在（-∞，0）上的最小值为lg2，则y=f（x）的最小值是lg2，命题③正确．
故答案为：①③．

点评：本题考查了命题的真假判断与应用，考查了函数奇偶性的性质，考查了复合函数的单调性，是中档题．