Question

若函数f（x）=ax²+2x+1在[-3，2]上有最大值4，则a=

 

．

Answer 1

考点：二次函数在闭区间上的最值

专题：函数的性质及应用

分析：考察了二次函数的最值问题，因为不知道是不是二次函数，所以分a=0和a≠0两种情况讨论；在各自的范围内再进行求解．

解答： 解；分a=0和a≠0两种情况讨论；
当a=0时，f（x）=2x+1，当x=2时，取最大值为5，不合题意；
当a≠0时，f（x）=ax²+2x+1是二次函数，对称轴为；x=-

1

a

，
Ⅰ：当-

1

a

＞0，即a＜0时，f（2）最大，f（2）=4a+4+1=4，解得：a=-

1

4

，
Ⅱ：当-

1

a

＜0时，a＞0
当-

1

2

＜-

1

a

＜0即a＞2时，f（-3）最大，f（-3）=9a-6+1=4，解得a=1，不合题意，舍；
当-

1

a

=-

1

2

即a=2时，f（-3）=f（2）最大，f（2）=13≠4，不合题意，舍；
当-

1

a

＜-

1

2

即0＜a＜2时，f（2）最大，f（2）=4a+4+1=4，解得a=-

1

4

，不合题意，舍；
综上所述，a=-

1

4

．
故答案为：-

1

4

．

点评：本题体现了分类讨论思想，在做题时可画出图形，利用数形结合使问题变得简单．