Question

11．同时具有性质“①最小正周期是4π；②$x=\frac{π}{3}$是图象的一条对称轴；③在区间$（\frac{2π}{3}，\frac{5π}{6}）$上是减函数”的一个函数是（　　）

• A． $y=sin（2x-\frac{π}{6}）$
• B． $y=cos（2x-\frac{π}{6}）$
• C． $y=cos（\frac{x}{2}+\frac{π}{3}）$
• D． $y=sin（\frac{x}{2}+\frac{π}{3}）$

Answer 1

分析 利用函数的周期，求出ω，利用图象关系直线x=$\frac{π}{3}$对称，即可判断选项的正误．

解答 解：对于选项A、B，∵T=$\frac{2π}{2}$=π，故A，B不正确；
对于选项C，如果x=$\frac{π}{3}$为对称轴．
所以$\frac{\frac{π}{3}}{2}$+$\frac{π}{3}$=kπ，k∈Z，可得$\frac{π}{2}$=kπ，k不存在，不满足题意，故C不正确；
对于选项D，因为T=$\frac{2π}{\frac{1}{2}}$=4π，且由$\frac{x}{2}+\frac{π}{3}$=k$π+\frac{π}{2}$，k∈Z，解得图象的对称轴方程为：x=2kπ+$\frac{π}{3}$，k∈Z，当k=0时，x=$\frac{π}{3}$为图象的一条对称轴．
由2kπ$+\frac{π}{2}$≤$\frac{x}{2}+\frac{π}{3}$≤2kπ$+\frac{3π}{2}$，k∈Z，解得单调递减区间为：[4kπ+$\frac{π}{3}$，4kπ+$\frac{7π}{3}$]，k∈Z，可得函数在区间$（\frac{2π}{3}，\frac{5π}{6}）$上是减函数，故D正确．
故选：D．

点评 本题考查三角函数的周期性及其求法，正弦函数的对称性和单调性，考查推理能力，属于基础题．