Question

3．在平面直角坐标系xOy中，已知直线l：x+y+m=0和圆M：x²+y²=9，若圆M上存在点P，使得P到直线l的距离为2，则实数m的取值范围是[-5$\sqrt{2}$，5$\sqrt{2}$]．

Answer 1

分析 设P（3cosθ，3sinθ），0≤θ＜2π，求出P到直线l的距离，利用三铁函数的性质能求出实数m的取值范围．

解答 解：∵直线l：x+y+m=0和圆M：x²+y²=9，若圆M上存在点P，使得P到直线l的距离为2，
∴设P（3cosθ，3sinθ），0≤θ＜2π，
∴P到直线l的距离d=$\frac{|3cosθ+3sinθ+m|}{\sqrt{2}}$=$\frac{|3\sqrt{2}sin（θ+\frac{π}{4}）+m|}{\sqrt{2}}$=2，
∵-3$\sqrt{2}$$≤3\sqrt{2}sin（θ+\frac{π}{4}）$$≤3\sqrt{2}$，|3$\sqrt{2}sin（θ+\frac{π}{4}）$+m|=2$\sqrt{2}$，
∴-5$\sqrt{2}≤m≤5\sqrt{2}$，
∴实数m的取值范围是[-5$\sqrt{2}$，5$\sqrt{2}$]．
故答案为：[-5$\sqrt{2}$，5$\sqrt{2}$]．

点评 本题考查实数的取值范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意点到直线的距离公式的合理运用．