Question

20．已知函数f（x）=$\frac{1}{2p}$x²-x+3在区间[-1，2]上的最大值为M，最小值为m，求实数p为何值时，2M+m=3．

Answer 1

分析 配方法化简f（x）=$\frac{1}{2p}$（x-p）²+3-$\frac{p}{2}$，从而分类讨论以确定函数的单调性，从而求最值，从而代入求p即可．

解答 解：f（x）=$\frac{1}{2p}$x²-x+3
=$\frac{1}{2p}$（x-p）²+3-$\frac{p}{2}$，
①当p≤-1时，
f（x）在[-1，2]上是减函数，
故M=f（-1）=$\frac{1}{2p}$+1+3=$\frac{1}{2p}$+4，m=$\frac{1}{2p}$×4-2+3=$\frac{2}{p}$+1，
故2M+m=$\frac{1}{p}$+8+$\frac{2}{p}$+1=3，
解得，p=-$\frac{1}{2}$（舍去）；
②当-1＜p＜0时，
M=f（p）=3-$\frac{p}{2}$，m=$\frac{1}{2p}$×4-2+3=$\frac{2}{p}$+1，
故2M+m=6-p+$\frac{2}{p}$+1=3，
解得，p=2+$\sqrt{6}$（舍去）或p=2-$\sqrt{6}$；
③当0＜p≤0.5时，
m=f（p）=3-$\frac{p}{2}$，M=$\frac{1}{2p}$×4-2+3=$\frac{2}{p}$+1，
故2M+m=$\frac{4}{p}$+2+3-$\frac{p}{2}$=3，
无解；
④当0.5＜p＜2时，
m=f（p）=3-$\frac{p}{2}$，M=$\frac{1}{2p}$+4，
故2M+m=$\frac{1}{p}$+8+3-$\frac{p}{2}$=3，
无解；
⑤当p≥2时，
m=f（2）=$\frac{2}{p}$+1，M=$\frac{1}{2p}$+4，
故2M+m=$\frac{1}{p}$+8+$\frac{2}{p}$+1=3，
无解；
综上所述，
p=2-$\sqrt{6}$．

点评 本题考查了二次函数的性质应用及配方法的应用，重点考查了分类讨论的思想应用．