Question

16．已知{a_n}为等差数列，且a₃+a₄=3（a₁+a₂），a_2n-1=2a_n．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设数列{b_n}的前n项和为S_n，且S_n=m-$\frac{{{a_n}+1}}{2^n}$（m为常数）．令c_n=b_2n （n∈N^*），求数列{c_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）设等差数列{a_n}的公差为d，运用等差数列的通项公式，解方程可得首项和公差，即可得到所求通项公式；
（2）求得c_n=b_2n=$\frac{2n-2}{{2}^{2n-1}}$=（n-1）•（$\frac{1}{4}$）^n-1，再由数列的求和方法：错位相减法，结合等比数列的求和公式，即可化简可得．

解答 解：（1）设等差数列{a_n}的公差为d，
由a₃+a₄=3（a₁+a₂）得：
a₁+2d+a₁+3d=3（a₁+a₁+d）⇒2a₁=d①
由a_2n-1=2a_n得：a₁+（2n-1）d-1=2[a₁+（n-1）d]⇒a₁=d-1②
由①②得：a₁=1，d=2，∴a_n=2n；
（2）当n≥2时，${b_n}={S_n}-{S_{n-1}}=m-\frac{{{a_n}+1}}{2^n}-（m-\frac{{{a_{n-1}}+1}}{{{2^{n-1}}}}）=\frac{n-2}{{{2^{n-1}}}}$，
∴c_n=b_2n=$\frac{2n-2}{{2}^{2n-1}}$=（n-1）•（$\frac{1}{4}$）^n-1，
${T_n}=0×{（\frac{1}{4}）^0}+1×{（\frac{1}{4}）^1}+2×{（\frac{1}{4}）^2}+…+（n-1）×{（\frac{1}{4}）^{n-1}}$，$\frac{1}{4}{T_n}=0×{（\frac{1}{4}）^1}+1×{（\frac{1}{4}）^2}+2×{（\frac{1}{4}）^3}+…+（n-2）×{（\frac{1}{4}）^{n-1}}+（n-1）×{（\frac{1}{4}）^n}$，
两式相减得：
$\frac{3}{4}{T_n}={（\frac{1}{4}）^1}+{（\frac{1}{4}）^2}+{（\frac{1}{4}）^3}+…+{（\frac{1}{4}）^{n-1}}-（n-1）×{（\frac{1}{4}）^n}=\frac{{\frac{1}{4}-{{（\frac{1}{4}）}^n}}}{{1-\frac{1}{4}}}-（n-1）×{（\frac{1}{4}）^n}$
=$\frac{1}{3}-\frac{3n+1}{3}•{（\frac{1}{4}）^n}$，
∴${T_n}=\frac{4}{9}-\frac{3n+1}{9}•{（\frac{1}{4}）^{n-1}}$．

点评 本题考查等差数列的通项公式的运用，考查数列的求和方法：错位相减法，考查运算能力，属于中档题．